Algebra Beispiele

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Schritt 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ durch Herausziehen von $x^{2} + 5 x$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{3}{4})$ als $\ln (3) - \ln (4)$ um.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Schritt 7

Zerlege $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ durch Herausziehen von $3 x$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Schritt 8

Schreibe $\ln (\frac{4}{3})$ als $\ln (4) - \ln (3)$ um.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9

Löse die Ungleichung für $x$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Schritt 9.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.3

Multipliziere $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Schritt 9.2

Vereinfache $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

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Schritt 9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $3 x \ln (4)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Schritt 9.3.2

Addiere $3 x \ln (3)$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Schritt 9.3.3

Addiere $5 x \ln (3)$ und $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \ln (3)$ heraus.

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2} \ln (2)$ heraus.

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Schritt 9.4.3

Faktorisiere $x$ aus $8 x \ln (3)$ heraus.

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Schritt 9.4.4

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x \ln (2)$ heraus.

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Schritt 9.4.5

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x \ln (4)$ heraus.

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Schritt 9.4.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ heraus.

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Schritt 9.4.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ heraus.

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Schritt 9.4.8

Faktorisiere $x$ aus $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ heraus.

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Schritt 9.4.9

Faktorisiere $x$ aus $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ heraus.

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Schritt 9.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Schritt 9.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 9.7

Setze $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.7.1

Setze $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ gleich $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Schritt 9.7.2

Löse $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.7.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.7.2.1.1

Subtrahiere $8 \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Schritt 9.7.2.1.2

Addiere $10 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Schritt 9.7.2.1.3

Addiere $3 \ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 9.7.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.7.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.7.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ heraus.

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ durch $\ln (3) - 2 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 9.7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ durch $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

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Schritt 9.7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.7.2.3.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.7.2.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.7.2.3.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ heraus.

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Schritt 9.7.2.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.2.3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.7.2.3.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $10 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ heraus.

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.7.2.3.3.3.6.1

Schreibe $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ als $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ um.

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.7.2.3.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 9.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $5.66321656 E - 7$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.00017858$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $3.16049382$ ist größer als die rechte Seite $0.03167635$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0.01781794$ ist nicht größer als die rechte Seite $5.61865569$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falsch

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falsch

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Schritt 14