Algebra Beispiele

$27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ durch $27$ .

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere ${(\frac{3}{5})}^{x + 1}$ durch $1$ .

${(\frac{3}{5})}^{x + 1} = \frac{125}{27}$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} = \frac{125}{27}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $5^{x + 1}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5^{x + 1}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $\frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $\frac{125}{27}$ und $5^{x + 1}$ .

$3^{x + 1} = \frac{125 \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$3^{x + 1} = \frac{5^{3} \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{x + 1} = \frac{5^{3 + x + 1}}{27}$

Schritt 3.2.1.4

Addiere $3$ und $1$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{x + 4}}{27}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln (3^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Schritt 4.3

Schreibe $\ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$ als $\ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$ um.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$

Schritt 4.4

Zerlege $\ln (5^{x + 4})$ durch Herausziehen von $x + 4$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (27)$

Schritt 4.5

Schreibe $\ln (27)$ als $\ln (3^{3})$ um.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (3^{3})$

Schritt 4.6

Zerlege $\ln (3^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - (3 \ln (3))$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Schritt 4.8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.1.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (3)$ .

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Schritt 4.8.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Schritt 4.8.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Schritt 4.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.2.1

Vereinfache $(x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$ .

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Schritt 4.8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + 4 \ln (5) - 3 \ln (3)$

Schritt 4.8.2.1.1.2

Vereinfache $4 \ln (5)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (5^{4}) - 3 \ln (3)$

Schritt 4.8.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - 3 \ln (3)$

Schritt 4.8.2.1.1.4

Vereinfache $- 3 \ln (3)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (3^{3})$

Schritt 4.8.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (27)$

Schritt 4.8.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (\frac{625}{27})$

Schritt 4.8.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) - \ln (\frac{625}{27}) = 0$

Schritt 4.8.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3}{\frac{625}{27}}) = 0$

Schritt 4.8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (3 (\frac{27}{625})) = 0$

Schritt 4.8.5.2

Multipliziere $3 (\frac{27}{625})$ .

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Schritt 4.8.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{27}{625}$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3 \cdot 27}{625}) = 0$

Schritt 4.8.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{81}{625}) = 0$

Schritt 4.8.6

Subtrahiere $\ln (\frac{81}{625})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Schritt 4.8.7

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.8.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Schritt 4.8.7.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Schritt 4.8.7.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Schritt 4.8.8

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Schritt 4.8.9

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ durch $\ln (3) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ durch $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.8.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Schritt 4.8.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.8.9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.8.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = - 4$