Algebra Beispiele

$\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2} - 3, 1, 1$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$x^{2} - 3, 1, 1$

Schritt 1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2} - 3$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$ mit $x^{2} - 3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$ mit $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = y x^{2} + y \cdot - 3 + 1 (x^{2} - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$1 = y x^{2} - 3 \cdot y + 1 (x^{2} - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2} - 3$ mit $1$ .

$1 = y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3 = 1$ um.

$y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3 = 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} + x^{2} - 3 = 1 + 3 y$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} + x^{2} = 1 + 3 y + 3$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y x^{2} + x^{2} = 3 y + 4$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y x^{2} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y x^{2}$ heraus.

$x^{2} y + x^{2} = 3 y + 4$

Schritt 3.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} y + x^{2} \cdot 1 = 3 y + 4$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$ durch $y + 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$ durch $y + 1$ .

$\frac{x^{2} (y + 1)}{y + 1} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (y + 1)}{y + 1} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} = \frac{3 y + 4}{y + 1}$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$ als $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$

Schritt 3.6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}}$

Schritt 3.6.3.2

Potenziere $\sqrt{y + 1}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}}$

Schritt 3.6.3.3

Potenziere $\sqrt{y + 1}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}}$

Schritt 3.6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}}$

Schritt 3.6.3.6

Schreibe ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ als $y + 1$ um.

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Schritt 3.6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}}$

Schritt 3.6.3.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{y + 1}$

Schritt 3.6.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$