Algebra Beispiele

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$ um.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2 a$ .

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a) = x (2 a)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 (a)} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.4

Stelle $b^{2}$ und $- 4 a c$ um.

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = x (2 a)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a + b$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 4 a c + b^{2}}$ als ${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 4 a c + b^{2})}^{1} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache.

$- 4 a c + b^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache ${(2 x a + b)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe ${(2 x a + b)}^{2}$ als $(2 x a + b) (2 x a + b)$ um.

$- 4 a c + b^{2} = (2 x a + b) (2 x a + b)$

Schritt 4.3.3.1.2

Multipliziere $(2 x a + b) (2 x a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a + b) + b (2 x a + b)$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a + b)$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 (x \cdot x) a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} (a \cdot a) \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a^{2} \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b^{2}$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Bewege $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 a b x + 2 a b x + b^{2}$

Schritt 4.3.3.1.3.3

Addiere $2 a b x$ und $2 a b x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2}$

Schritt 4.4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.4.1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} = - 4 a c + b^{2}$

Schritt 4.4.2

Addiere $4 a c$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} + 4 a c = b^{2}$

Schritt 4.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.3.1

Subtrahiere $b^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c = b^{2} - b^{2}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $b^{2}$ von $b^{2}$ .

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $4 a$ aus $4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c$ heraus.

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $4 a$ aus $4 x^{2} a^{2}$ heraus.

$4 a (x^{2} a) + 4 a b x + 4 a c = 0$

Schritt 4.4.4.2

Faktorisiere $4 a$ aus $4 a b x$ heraus.

$4 a (x^{2} a) + 4 a (b x) + 4 a c = 0$

Schritt 4.4.4.3

Faktorisiere $4 a$ aus $4 a c$ heraus.

$4 a (x^{2} a) + 4 a (b x) + 4 a (c) = 0$

Schritt 4.4.4.4

Faktorisiere $4 a$ aus $4 a (x^{2} a) + 4 a (b x)$ heraus.

$4 a (x^{2} a + b x) + 4 a (c) = 0$

Schritt 4.4.4.5

Faktorisiere $4 a$ aus $4 a (x^{2} a + b x) + 4 a (c)$ heraus.

$4 a (x^{2} a + b x + c) = 0$

Schritt 4.4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a = 0$

$x^{2} a + b x + c = 0$

Schritt 4.4.6

Setze $a$ gleich $0$ .

$a = 0$

Schritt 4.4.7

Setze $x^{2} a + b x + c$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.4.7.1

Setze $x^{2} a + b x + c$ gleich $0$ .

$x^{2} a + b x + c = 0$

Schritt 4.4.7.2

Löse $x^{2} a + b x + c = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.4.7.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.7.2.1.1

Subtrahiere $b x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} a + c = - b x$

Schritt 4.4.7.2.1.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} a = - b x - c$

Schritt 4.4.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} a = - b x - c$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} a = - b x - c$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} a}{x^{2}} = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.4.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} a}{x^{2}} = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.7.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.7.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.4.7.2.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- b x$ heraus.

$a = \frac{x (- b)}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.7.2.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$a = \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.7.2.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

Schritt 4.4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 a (x^{2} a + b x + c) = 0$ wahr machen.

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$