Algebra Beispiele

${(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5}}{2} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{2}$ und $i$ .

${(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$ als $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ um.

$(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{9} + \frac{1}{3} (\sqrt{5} i) + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\sqrt{5}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} i + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{3}$ und $i$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \sqrt{5} i \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3} i + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.7

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{3}$ und $i$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Schritt 3.1.8

Multipliziere $\frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ mit $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i (\sqrt{5} i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.7

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.9.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5^{1} i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5 i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.9.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.1.10

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 3.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} - \frac{5}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{4}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{5}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{4 \cdot 4}{36} - \frac{5 \cdot 9}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 4 - 5 \cdot 9}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 9}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$\frac{16 - 45}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $45$ von $16$ .

$\frac{- 29}{36} + \frac{\sqrt{5} i}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 29}{36} + \frac{2 \sqrt{5} i}{3}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{29}{36} + \frac{2 \sqrt{5} i}{3}$