Algebra Beispiele

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$r = \frac{4}{3} \cdot (π y^{3})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{3} \cdot (π y^{3}) = r$ um.

$\frac{4}{3} \cdot (π y^{3}) = r$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π y^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π y^{3}))$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π y^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π y^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4 π}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π y^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π y^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Faktorisiere $π$ aus $\frac{4}{3} \cdot (π y^{3})$ heraus.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (y^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (y^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (y^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.5

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4 y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.7

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1.1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 y^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 y^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.1.1.8.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} r$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{4}{3} π} r$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$y^{3} = \frac{1}{\frac{4 π}{3}} r$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{3} = 1 \frac{3}{4 π} r$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4 π}$ mit $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4 π} r$

Schritt 2.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{3}{4 π}$ und $r$ .

$y^{3} = \frac{3 r}{4 π}$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 r}{4 π}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3 r}{4 π}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 r}{4 π}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 r}}{\sqrt[3]{4 π}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r}}{\sqrt[3]{4 π}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 r}}{\sqrt[3]{4 π}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r}}{\sqrt[3]{4 π}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 r}}{\sqrt[3]{4 π}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{\sqrt[3]{4 π} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{4 π}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{1} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.5.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{3}}$

Schritt 2.5.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4 π}}^{3}$ als $4 π$ um.

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Schritt 2.5.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 π}$ als ${(4 π)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{({(4 π)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.5.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{1}}$

Schritt 2.5.3.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{4 π}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4 π}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(4 π)}^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \sqrt[3]{{(4 π)}^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.2

Wende die Produktregel auf $4 π$ an.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \sqrt[3]{4^{2} π^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \sqrt[3]{16 π^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.4

Schreibe $16 π^{2}$ als $2^{3} \cdot (2 π^{2})$ um.

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Schritt 2.5.4.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \sqrt[3]{8 (2) π^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 π^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.4.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 π^{2})}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 r} \cdot 2 \sqrt[3]{2 π^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.5.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 r (2 π^{2})}}{4 π}$

Schritt 2.5.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 r π^{2}}}{4 π}$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{6 r π^{2}}$ heraus.

$y = \frac{2 (\sqrt[3]{6 r π^{2}})}{4 π}$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$y = \frac{2 (\sqrt[3]{6 r π^{2}})}{2 (2 π)}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 (2 π)}$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (r)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}$ die Umkehrfunktion von $f (r) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (r)) = r$ ist und $f (f^{- 1} (r)) = r$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (r))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (r))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{6 (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) \cdot π^{2}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{6 \cdot 4}{3} \cdot (π r^{3} π^{2})}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $\frac{6 \cdot 4}{3}$ und $π$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{6 \cdot (4 π)}{3} \cdot (r^{3} π^{2})}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{6 \cdot 4 π}{3}$ und $r^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{6 \cdot (4 π r^{3})}{3} \cdot π^{2}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.4

Kombiniere $\frac{6 \cdot 4 π r^{3}}{3}$ und $π^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{6 \cdot (4 π r^{3} π^{2})}{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 \cdot 4 π r^{3} π^{2}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \cdot 4 π r^{3} π^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{3 (2 \cdot (4 π r^{3} π^{2}))}{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{3 (2 \cdot (4 π r^{3} π^{2}))}{3 (1)}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{3 (2 \cdot (4 π r^{3} π^{2}))}{3 \cdot 1}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{\frac{2 \cdot (4 π r^{3} π^{2})}{1}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.5.2

Dividiere $2 \cdot 4 π r^{3} π^{2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (4 π r^{3} π^{2})}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.2.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{8 π r^{3} π^{2}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.6.2

Multipliziere $π$ mit $π^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.6.2.1

Bewege $π^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{8 (π^{2} π) r^{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.6.2.2

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $π$ .

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Schritt 4.2.3.6.2.2.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{8 (π^{2} π) r^{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{8 π^{2 + 1} r^{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{8 π^{3} r^{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.7

Schreibe $8 π^{3} r^{3}$ als ${(2 π r)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{\sqrt[3]{{(2 π r)}^{3}}}{2 π}$

Schritt 4.2.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{2 π r}{2 π}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{2 π r}{2 π}$

Schritt 4.2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{π r}{π}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{π r}{π}$

Schritt 4.2.4.2.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = r$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (r))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (r))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π {(\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π})}^{3})$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}^{3}}{{(2 π)}^{3}}))$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Produktregel auf $2 π$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}^{3}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{6 r π^{2}}}^{3}$ als $6 r π^{2}$ um.

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Schritt 4.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 r π^{2}}$ als ${(6 r π^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{{({(6 r π^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{{(6 r π^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{{(6 r π^{2})}^{\frac{3}{3}}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{{(6 r π^{2})}^{\frac{3}{3}}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{6 r π^{2}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.4.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{6 r π^{2}}{2^{3} π^{3}}))$

Schritt 4.3.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{6 r π^{2}}{8 π^{3}}))$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $π$ aus $8 π^{3}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{6 r π^{2}}{π (8 π^{2})}))$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot (π (\frac{6 r π^{2}}{π (8 π^{2})}))$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{6 r π^{2}}{8 π^{2}}$

Schritt 4.3.7

Kombinieren.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4 (6 r π^{2})}{3 (8 π^{2})}$

Schritt 4.3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $4$ aus $3 (8 π^{2})$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4 (6 r π^{2})}{4 (3 (2 π^{2}))}$

Schritt 4.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{4 (6 r π^{2})}{4 (3 (2 π^{2}))}$

Schritt 4.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{6 r π^{2}}{3 (2 π^{2})}$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $6 r π^{2}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{3 (2 r π^{2})}{3 (2 π^{2})}$

Schritt 4.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{3 (2 r π^{2})}{3 (2 π^{2})}$

Schritt 4.3.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{2 r π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{2 r π^{2}}{2 π^{2}}$

Schritt 4.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{r π^{2}}{π^{2}}$

Schritt 4.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π^{2}$ .

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Schritt 4.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = \frac{r π^{2}}{π^{2}}$

Schritt 4.3.11.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}) = r$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (r)) = r$ und $f (f^{- 1} (r)) = r$ gleich sind, ist $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (r) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt[3]{6 r π^{2}}}{2 π}$