Algebra Beispiele

$\frac{a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $4 b^{2}$ als ${(2 b)}^{2}$ um.

$\frac{a^{2} - 4 a b + {(2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 a b = 2 \cdot a \cdot (2 b)$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot (2 b) + {(2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 b^{3}$ als ${(2 b)}^{3}$ um.

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a^{3} - {(2 b)}^{3}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = 2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - (2 b)) (a^{2} + a (2 b) + {(2 b)}^{2})}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + a (2 b) + {(2 b)}^{2})}$

Schritt 2.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + {(2 b)}^{2})}$

Schritt 2.3.3

Wende die Produktregel auf $2 b$ an.

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 2^{2} b^{2})}$

Schritt 2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a - 2 b)}^{2}$ und $a - 2 b$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $a - 2 b$ aus ${(a - 2 b)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 2 b}{a^{2} + 2 a b + 4 b^{2}}$