Algebra Beispiele

$f (x) = - 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$ als Gleichung.

$y = - 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$ an.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$- 0.2 ((x + 3) (x + 3)) + 2$

Schritt 2.1.1.1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.2 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 2$

Schritt 2.1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.2 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 2$

Schritt 2.1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.2 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 2$

Schritt 2.1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 0.2 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 2$

Schritt 2.1.1.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 0.2 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 2$

Schritt 2.1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 0.2 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 2$

Schritt 2.1.1.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$- 0.2 (x^{2} + 6 x + 9) + 2$

Schritt 2.1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 0.2 x^{2} - 0.2 (6 x) - 0.2 \cdot 9 + 2$

Schritt 2.1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.2$ .

$- 0.2 x^{2} - 1.2 x - 0.2 \cdot 9 + 2$

Schritt 2.1.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $9$ .

$- 0.2 x^{2} - 1.2 x - 1.8 + 2$

Schritt 2.1.1.2

Addiere $- 1.8$ und $2$ .

$- 0.2 x^{2} - 1.2 x + 0.2$

Schritt 2.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 0.2$

$b = - 1.2$

$c = 0.2$

Schritt 2.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1.2}{2 \cdot - 0.2}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.2$ .

$d = \frac{- 1.2}{- 0.4}$

Schritt 2.1.4.2.2

Dividiere $- 1.2$ durch $- 0.4$ .

$d = 3$

Schritt 2.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0.2 - \frac{{(- 1.2)}^{2}}{4 \cdot - 0.2}$

Schritt 2.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.2.1.1

Potenziere $- 1.2$ mit $2$ .

$e = 0.2 - \frac{1.44}{4 \cdot - 0.2}$

Schritt 2.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.2$ .

$e = 0.2 - \frac{1.44}{- 0.8}$

Schritt 2.1.5.2.1.3

Dividiere $1.44$ durch $- 0.8$ .

$e = 0.2 - - 1.8$

Schritt 2.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.8$ .

$e = 0.2 + 1.8$

Schritt 2.1.5.2.2

Addiere $0.2$ und $1.8$ .

$e = 2$

Schritt 2.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$ ein.

$- 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 0.2 {(x + 3)}^{2} + 2$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 0.2$

$h = - 3$

$k = 2$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 2)$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 0.2}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.2$ .

$\frac{1}{- 0.8}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $1$ durch $- 0.8$ .

$- 1.25$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, 0.75)$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 3$

Schritt 9