Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \div \frac{2 x - 10}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x - 10}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x - 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x - 10}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x - 10}$

Schritt 4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 10$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) - 10}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot - 5}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x - 5)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $2 (x - 5)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) \cdot 2}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) \cdot 2}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{2}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{2}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) \frac{x + 2}{2}$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{x + 2}{2} + 1 \frac{x + 2}{2}$

Schritt 8

Kombiniere $x$ und $\frac{x + 2}{2}$ .

$\frac{x (x + 2)}{2} + 1 \frac{x + 2}{2}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 2)}{2} + \frac{x + 2}{2}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 2) + x + 2}{2}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + x + 2}{2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + x + 2}{2}$

Schritt 11.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{2}$

Schritt 12

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$

Schritt 13

Faktorisiere $x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{2}$

Schritt 14

Multipliziere $(x + 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 2) + 1 (x + 2)}{2}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{2}$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 15.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{2}$

Schritt 15.2

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$

Schritt 16

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{2} + 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 17

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} + 3 x}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 18

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} + 1$