Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{\frac{y + 6}{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{\frac{y + 6}{2}} = x$ um.

$\sqrt[3]{\frac{y + 6}{2}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{\frac{y + 6}{2}}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\frac{y + 6}{2}}$ als ${(\frac{y + 6}{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{y + 6}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{y + 6}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{y + 6}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y + 6}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{y + 6}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{y + 6}{2})}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{y + 6}{2} = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y + 6}{2} = 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y + 6}{2} = 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 6 = 2 x^{3}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x^{3} - 6$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{3} - 6$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 x^{3} - 6$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.3.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{x + 6} \sqrt[3]{4}}{2})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}}{2})}^{3} - 6$

Schritt 5.2.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}}{2}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}}^{3}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}}^{3}$ als $(x + 6) \cdot 4$ um.

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Schritt 5.2.3.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}$ als ${((x + 6) \cdot 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{{({((x + 6) \cdot 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{{((x + 6) \cdot 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{{((x + 6) \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{{((x + 6) \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{(x + 6) \cdot 4}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{(x + 6) \cdot 4}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{x \cdot 4 + 6 \cdot 4}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 \cdot x + 6 \cdot 4}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.4

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 \cdot x + 24}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 24$ heraus.

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Schritt 5.2.3.7.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 (x) + 24}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.5.2

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 6}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.7.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 6$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 (x + 6)}{2^{3}}) - 6$

Schritt 5.2.3.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 (x + 6)}{8}) - 6$

Schritt 5.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 (x + 6)}{2 (4)}) - 6$

Schritt 5.2.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = 2 (\frac{4 (x + 6)}{2 \cdot 4}) - 6$

Schritt 5.2.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = \frac{4 (x + 6)}{4} - 6$

Schritt 5.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = \frac{4 (x + 6)}{4} - 6$

Schritt 5.2.3.10.2

Dividiere $x + 6$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = x + 6 - 6$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 6 - 6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (2 x^{3} - 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{(2 x^{3} - 6) + 6}{2}}$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (2 x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3} + 0}{2}}$

Schritt 5.3.4

Addiere $2 x^{3}$ und $0$ .

$f (2 x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{3}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Schritt 5.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 5.3.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f (2 x^{3} - 6) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (2 x^{3} - 6) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 x^{3} - 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{3} - 6$