Algebra Beispiele

${(x - y)}^{3} - {(x + y)}^{3}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x - y$ und $b = x + y$ .

$(x - y - (x + y)) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - y - x - y) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$(- y + 0 - y) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.3

Addiere $- y$ und $0$ .

$(- y - y) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.4

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$- 2 y ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.5

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$- 2 y ((x - y) (x - y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.6

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x (x - y) - y (x - y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - y (- y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.4.1

Bewege $y$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x + y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 2.7.2.1

Bewege $y$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.7.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.8

Multipliziere $(x - y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x (x + y) - y (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y - y (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y - y x - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x y - y x - y \cdot y$ .

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Schritt 2.9.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x y$ und $- y x$ neu an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y - x y - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $x y$ von $x y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + 0 - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.9.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.10.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.1

Bewege $y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - (y \cdot y) + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + {(x + y)}^{2})$

Schritt 2.11

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + (x + y) (x + y))$

Schritt 2.12

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x (x + y) + y (x + y))$

Schritt 2.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y))$

Schritt 2.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Schritt 2.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.13.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Schritt 2.13.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Schritt 2.13.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 2.13.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Schritt 2.13.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Schritt 2.14

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 y (2 x^{2} - 2 x y + y^{2} - y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Schritt 2.15

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 y (3 x^{2} - 2 x y + y^{2} - y^{2} + 2 x y + y^{2})$

Schritt 2.16

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$- 2 y (3 x^{2} + y^{2} - y^{2} + 0 + y^{2})$

Schritt 2.17

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 y (3 x^{2} + y^{2} - y^{2} + y^{2})$

Schritt 2.18

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$- 2 y (3 x^{2} + 0 + y^{2})$

Schritt 2.19

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 y (3 x^{2} + y^{2})$