Algebra Beispiele

${(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{2} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $i$ und $\frac{3}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i \cdot 3}{2})}^{2}$

Schritt 1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})$ um.

$(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{16} + \frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{4} (- \frac{3 i}{2})$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{4}$ mit $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{\sqrt{3} (3 i)}{4 \cdot 2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3}{16} - \frac{\sqrt{3} (3 i)}{8} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{4}$ mit $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{\sqrt{3} (3 i)}{4 \cdot 2} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{\sqrt{3} (3 i)}{8} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $- \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$ .

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + 1 \frac{3 i}{2} \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{3 i}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.7.3

Mutltipliziere $\frac{3 i}{2}$ mit $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{4}$

Schritt 3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{9}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{3}{16} - \frac{9 \cdot 4}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 9 \cdot 4}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$\frac{3 - 36}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $36$ von $3$ .

$\frac{- 33}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $\frac{3 \sqrt{3} i}{8}$ von $- \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$ .

$\frac{- 33}{16} - 2 \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{33}{16} - 2 \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{33}{16} + 2 (- 1) \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{33}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{33}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{33}{16} - 1 \frac{3 \sqrt{3} i}{4}$

Schritt 4.3

Schreibe $- 1 \frac{3 \sqrt{3} i}{4}$ als $- \frac{3 \sqrt{3} i}{4}$ um.

$- \frac{33}{16} - \frac{3 \sqrt{3} i}{4}$