Algebra Beispiele

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ mit $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 2.2

Kombinieren.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p^{2} - q^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $p^{2} - q^{2}$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ heraus.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q - p$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $q - p$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ heraus.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + q$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $p + q$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ heraus.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $(p + q) q$ aus $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $(p + q) q$ aus $(q - p) (p + q) (p q)$ heraus.

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $(p + q) q$ aus $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ heraus.

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $(p + q) q$ aus $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ heraus.

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.3

Multipliziere $p$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.4

Addiere $- p^{2}$ und $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.5

Addiere $q p$ und $0$ .

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $q$ aus $q p - q^{2}$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $q$ aus $q p$ heraus.

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $q$ aus $- q^{2}$ heraus.

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $q$ aus $q (p) + q (- q)$ heraus.

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $q$ mit $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.7.2

Potenziere $q$ mit $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ aus $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = p$ und $b = q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $p$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- q$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- p) - (q)$ heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.5

Potenziere $- p + q$ mit $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.6

Potenziere $- p + q$ mit $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5.6

Multipliziere $q$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.6.1

Bewege $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.5.6.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ .

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Schritt 6.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $q p$ und $- p q$ neu an.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $p q$ von $p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.6.3

Addiere $p^{2}$ und $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Schritt 6.6.4

Subtrahiere $p^{2}$ von $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

Schritt 6.6.5

Addiere $- q^{2} + 4 q^{2}$ und $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

Schritt 6.7

Addiere $- q^{2}$ und $4 q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + q$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q^{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $p - q$ und ${(- p + q)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $p$ heraus.

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- q$ heraus.

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- p) - (q)$ heraus.

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere $- p + q$ aus $- 1 (- p + q)$ heraus.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Schritt 7.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.5.1

Faktorisiere $- p + q$ aus $- 3 {(- p + q)}^{2}$ heraus.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Schritt 7.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Schritt 7.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

Schritt 7.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- p$ heraus.

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $q$ heraus.

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (p) - 1 (- q)$ heraus.

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

Schritt 7.8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 7.8.1

Schreibe $- (p - q)$ als $- 1 (p - q)$ um.

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

Schritt 7.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3 (p - q)}$