Algebra Beispiele

$\frac{3}{x^{2} - 49} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{3}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 7^{2}}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{3}{(x + 7) (x - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$

Schritt 3

Um $- \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 7) {(x - 7)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{(x + 7) (x - 7)}$ mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) (x - 7) (x - 7)} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Schritt 4.2

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) ({(x - 7)}^{1} (x - 7))} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Schritt 4.3

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) ({(x - 7)}^{1} {(x - 7)}^{1})} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{2}} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$ mit $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{2}} - \frac{9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von $(x + 7) {(x - 7)}^{2}$ um.

$\frac{3 (x - 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)} - \frac{9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x - 7) - 9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 7) - 9 (x + 7)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 (x + 7)$ heraus.

$\frac{3 (x - 7) + 3 (- 3 (x + 7))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 7) + 3 (- 3 (x + 7))$ heraus.

$\frac{3 (x - 7 - 3 (x + 7))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x - 7 - 3 x - 3 \cdot 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$\frac{3 (x - 7 - 3 x - 21)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$\frac{3 (- 2 x - 7 - 21)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $21$ von $- 7$ .

$\frac{3 (- 2 x - 28)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x - 28$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (2 (- x) - 28)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$\frac{3 (2 (- x) + 2 (- 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (- 14)$ heraus.

$\frac{3 (2 (- x - 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

$\frac{3 \cdot 2 (- x - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 (- x - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 (- (x) - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 7.2

Schreibe $- 14$ als $- 1 (14)$ um.

$\frac{6 (- (x) - 1 (14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (14)$ heraus.

$\frac{6 (- (x + 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Schreibe $- (x + 14)$ als $- 1 (x + 14)$ um.

$\frac{6 (- 1 (x + 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 (x + 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$