Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \div \frac{18 x + 9}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{2 x^{2} - 9 x - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 9$ um als $1$ plus $- 10$

$\frac{2 x^{2} + (1 - 10) x - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 10 x - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 10 x - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} + x) - 10 x - 5}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1)}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 5)}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(2 x + 1) (x - 5)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 1) (x - 5)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{18 x + 9}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{18 x + 9}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{18 x + 9}$

Schritt 6

Faktorisiere $9$ aus $18 x + 9$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{9 (2 x) + 9}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{9 (2 x) + 9 (1)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (2 x) + 9 (1)$ heraus.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{9 (2 x + 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $9 (2 x + 1)$ heraus.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 x + 1) \cdot 9}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x + 1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 x + 1) \cdot 9}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x + 3)}{9}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x + 3)}{9}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{9}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{x + 3}{9}$ in zwei Brüche.

$\frac{x}{9} + \frac{3}{9}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x}{9} + \frac{3 (1)}{9}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{x}{9} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{9} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{9} + \frac{1}{3}$