Algebra Beispiele

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ als ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ an.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Logarithmiere beide Seiten der Ungleichung.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ als $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ um.

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (3^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Schritt 4.4

Entferne die Klammern.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Schritt 4.5

Schreibe $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ als $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ um.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Schritt 4.6

Zerlege $\ln (3^{4 x + 2})$ durch Herausziehen von $4 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Schritt 4.7

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Schritt 4.8

Subtrahiere $(4 x + 2) \ln (3)$ von $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Schritt 4.9

Entferne die Klammern.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10

Löse die Ungleichung für $x$ .

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Schritt 4.10.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.10.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.1.1.4

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.1.3

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.10.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.2.2

Multipliziere.

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Schritt 4.10.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Schritt 4.10.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Schritt 4.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.10.3.1

Vereinfache $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

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Schritt 4.10.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.10.3.1.1.1

Vereinfache $- 4 \ln (3)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Schritt 4.10.3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Schritt 4.10.3.1.1.3

Vereinfache $- 2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Schritt 4.10.3.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Schritt 4.10.3.1.2

Stelle die Faktoren in $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ um.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Schritt 4.10.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Schritt 4.10.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Schritt 4.10.6

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Schritt 4.10.7

Subtrahiere $\ln (729)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Schritt 4.10.8

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3) + x \ln (81)$ heraus.

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Schritt 4.10.8.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3)$ heraus.

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Schritt 4.10.8.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (81)$ heraus.

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Schritt 4.10.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ heraus.

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Schritt 4.10.9

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Schritt 4.10.10

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ durch $- \ln (3) + \ln (81)$ und vereinfache.

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Schritt 4.10.10.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ durch $- \ln (3) + \ln (81)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.10.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (3) + \ln (81)$ .

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Schritt 4.10.10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.10.10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (81)$ heraus.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Schritt 4.10.10.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ heraus.

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Schritt 4.10.10.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.10.10.3.5.1

Schreibe $- (\ln (3) - \ln (81))$ als $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ um.

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Schritt 4.10.10.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Schritt 4.10.10.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Schritt 5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Schritt 7