Algebra Beispiele

$y = a \sqrt[3]{x - h} + k$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $a \sqrt[3]{x - h} + k = y$ um.

$a \sqrt[3]{x - h} + k = y$

Schritt 2

Subtrahiere $k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a \sqrt[3]{x - h} = y - k$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(a \sqrt[3]{x - h})}^{3} = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - h}$ als ${(x - h)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(a {(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(a {(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $a {(x - h)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$a^{3} {({(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{3} {(x - h)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{3} {(x - h)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{3} {(x - h)}^{1} = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache.

$a^{3} (x - h) = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} x + a^{3} (- h) = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} x - a^{3} h = {(y - k)}^{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(y - k)}^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} + 3 y^{2} (- k) + 3 y {(- k)}^{2} + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} + 3 \cdot - 1 y^{2} k + 3 y {(- k)}^{2} + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y {(- k)}^{2} + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende die Produktregel auf $- k$ an.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y ({(- 1)}^{2} k^{2}) + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 \cdot {(- 1)}^{2} y k^{2} + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 \cdot 1 y k^{2} + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} + {(- k)}^{3}$

Schritt 4.3.1.2.7

Wende die Produktregel auf $- k$ an.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} + {(- 1)}^{3} k^{3}$

Schritt 4.3.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3}$

Schritt 5

Löse nach $h$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $a^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3} - a^{3} x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3} - a^{3} x$ durch $- a^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3} - a^{3} x$ durch $- a^{3}$ .

$\frac{- a^{3} h}{- a^{3}} = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{a^{3} h}{a^{3}} = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{3} h}{a^{3}} = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $h$ durch $1$ .

$h = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{3} x}{a^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{3} x}{a^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + x$