Algebra Beispiele

$3 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 2 x + 3$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$1, 2 x + 3$

Schritt 1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 x + 3$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $3 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3}$ mit $2 x + 3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $3 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3}$ mit $2 x + 3$ .

$3 x (2 x + 3) = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot 3 = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 3 = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 \cdot 2 x \cdot x + 9 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1

Bewege $x$ .

$3 \cdot 2 (x \cdot x) + 9 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 \cdot 2 x^{2} + 9 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + 9 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 3$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} + 9 x = \frac{5 x + 6}{2 x + 3} (2 x + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{2} + 9 x = 5 x + 6$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} + 9 x - 5 x = 6$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5 x$ von $9 x$ .

$6 x^{2} + 4 x = 6$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} + 4 x - 6$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- 3) = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (2 x)$ heraus.

$2 (3 x^{2} + 2 x) + 2 (- 3) = 0$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} + 2 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$2 (3 x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + 2 x - 3) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + 2 x - 3) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 2 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} + 2 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 2 x - 3$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 3 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 2$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $4$ und $36$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 3.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{10}}{3}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.72075922 \dots, - 1.38742588 \dots$