Algebra Beispiele

$16 x^{2} + 72 x - 112 y = - 221$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$72 x - 112 y = - 221 - 16 x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $72 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 112 y = - 221 - 16 x^{2} - 72 x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 112 y = - 221 - 16 x^{2} - 72 x$ durch $- 112$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 112 y = - 221 - 16 x^{2} - 72 x$ durch $- 112$ .

$\frac{- 112 y}{- 112} = \frac{- 221}{- 112} + \frac{- 16 x^{2}}{- 112} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 112$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 112 y}{- 112} = \frac{- 221}{- 112} + \frac{- 16 x^{2}}{- 112} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 221}{- 112} + \frac{- 16 x^{2}}{- 112} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{221}{112} + \frac{- 16 x^{2}}{- 112} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $- 112$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{221}{112} + \frac{- 16 (x^{2})}{- 112} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 112$ heraus.

$y = \frac{221}{112} + \frac{- 16 (x^{2})}{- 16 (7)} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{221}{112} + \frac{- 16 x^{2}}{- 16 \cdot 7} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{221}{112} + \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 72 x}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $- 112$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 72 x$ heraus.

$y = \frac{221}{112} + \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 8 (9 x)}{- 112}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 112$ heraus.

$y = \frac{221}{112} + \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 8 (9 x)}{- 8 (14)}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{221}{112} + \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 8 (9 x)}{- 8 \cdot 14}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{221}{112} + \frac{x^{2}}{7} + \frac{9 x}{14}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{221}{112} + \frac{x^{2}}{7} + \frac{9 x}{14}$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $\frac{221}{112}$ .

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{9 x}{14} + \frac{221}{112}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{7}$

$b = \frac{9}{14}$

$c = \frac{221}{112}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{9}{14}}{2 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{9}{14} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{7}$ .

$d = \frac{9}{14} \cdot \frac{1}{\frac{2}{7}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{9}{14} (1 (\frac{7}{2}))$

Schritt 1.2.4.2.4

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $1$ .

$d = \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Faktorisiere $7$ aus $14$ heraus.

$d = \frac{9}{7 (2)} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9}{7 \cdot 2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.6

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{9}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{221}{112} - \frac{{(\frac{9}{14})}^{2}}{4 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{14}$ an.

$e = \frac{221}{112} - \frac{\frac{9^{2}}{14^{2}}}{4 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$e = \frac{221}{112} - \frac{\frac{81}{14^{2}}}{4 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $14$ mit $2$ .

$e = \frac{221}{112} - \frac{\frac{81}{196}}{4 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{7}$ .

$e = \frac{221}{112} - \frac{\frac{81}{196}}{\frac{4}{7}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{221}{112} - (\frac{81}{196} \cdot \frac{7}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.4.1

Faktorisiere $7$ aus $196$ heraus.

$e = \frac{221}{112} - (\frac{81}{7 (28)} \cdot \frac{7}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{221}{112} - (\frac{81}{7 \cdot 28} \cdot \frac{7}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{221}{112} - (\frac{81}{28} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{81}{28}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{221}{112} - \frac{81}{28 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Mutltipliziere $28$ mit $4$ .

$e = \frac{221}{112} - \frac{81}{112}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{221 - 81}{112}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $81$ von $221$ .

$e = \frac{140}{112}$

Schritt 1.2.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $140$ und $112$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Faktorisiere $28$ aus $140$ heraus.

$e = \frac{28 (5)}{112}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.4.2.1

Faktorisiere $28$ aus $112$ heraus.

$e = \frac{28 \cdot 5}{28 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{28 \cdot 5}{28 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{7} {(x + \frac{9}{4})}^{2} + \frac{5}{4}$ ein.

$\frac{1}{7} {(x + \frac{9}{4})}^{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{7} \cdot {(x + \frac{9}{4})}^{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{7}$

$h = - \frac{9}{4}$

$k = \frac{5}{4}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{9}{4}, \frac{5}{4})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{7}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{7}}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{7}{4})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $1$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{9}{4}, 3)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{9}{4}$

Schritt 8