Algebra Beispiele

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 22 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 15 = 120$ und deren Summe gleich $b = - 22$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 22$ aus $- 22 a$ heraus.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 22 (a) + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 22$ um als $- 10$ plus $- 12$

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} + (- 10 - 12) a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{8 a^{2} - 10 a - 12 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(8 a^{2} - 10 a) - 12 a + 15} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{2 a (4 a - 5) - 3 (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 a - 5$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 2

Um $\frac{2 a - 1}{2 a - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 a - 5}{4 a - 5}$ .

$\frac{2 a - 1}{2 a - 3} \cdot \frac{4 a - 5}{4 a - 5} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 a - 3) (4 a - 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 a - 1}{2 a - 3}$ mit $\frac{4 a - 5}{4 a - 5}$ .

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(4 a - 5) (2 a - 3)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(4 a - 5) (2 a - 3)$ um.

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{2 a^{2} - 5 a + 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 a - 1) (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(2 a - 1) (4 a - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (4 a - 5) - 1 (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (4 a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a - 5) - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a (4 a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot 4 a \cdot a + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 \cdot 4 (a \cdot a) + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 \cdot 4 a^{2} + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 a^{2} + 2 a \cdot - 5 - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 1 (4 a) - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 4 a - 1 \cdot - 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{8 a^{2} - 10 a - 4 a + 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $4 a$ von $- 10 a$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - (2 a^{2} - 5 a + 4)}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - (2 a^{2}) - (- 5 a) - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} - (- 5 a) - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} + 5 a - 1 \cdot 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 a^{2} - 14 a + 5 - 2 a^{2} + 5 a - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $2 a^{2}$ von $8 a^{2}$ .

$\frac{6 a^{2} - 14 a + 5 + 5 a - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.6

Addiere $- 14 a$ und $5 a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 5 - 4}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 5.7

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$

Schritt 6

Um $- \frac{3 a - 2}{4 a - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 a - 3}{2 a - 3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{3 a - 2}{4 a - 5} \cdot \frac{2 a - 3}{2 a - 3}$

Schritt 7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 a - 3) (4 a - 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{3 a - 2}{4 a - 5}$ mit $\frac{2 a - 3}{2 a - 3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{(3 a - 2) (2 a - 3)}{(4 a - 5) (2 a - 3)}$

Schritt 7.2

Stelle die Faktoren von $(4 a - 5) (2 a - 3)$ um.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1}{(2 a - 3) (4 a - 5)} - \frac{(3 a - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - (3 a - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- (3 a) - - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- 3 a - - 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 + (- 3 a + 2) (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.4

Multipliziere $(- 3 a + 2) (2 a - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a - 3) + 2 (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a - 3)}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 a (2 a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 a \cdot a - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.2.1

Bewege $a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 (a \cdot a) - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 3 \cdot 2 a^{2} - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} - 3 a \cdot - 3 + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 2 (2 a) + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 4 a + 2 \cdot - 3}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 9 a + 4 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.5.2

Addiere $9 a$ und $4 a$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a + 1 - 6 a^{2} + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.6

Subtrahiere $6 a^{2}$ von $6 a^{2}$ .

$\frac{- 9 a + 1 + 0 + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.7

Addiere $- 9 a$ und $0$ .

$\frac{- 9 a + 1 + 13 a - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.8

Addiere $- 9 a$ und $13 a$ .

$\frac{4 a + 1 - 6}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 9.9

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\frac{4 a - 5}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 a - 5$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a - 5}{(2 a - 3) (4 a - 5)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 a - 3}$