Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x^{3} - x^{2}) - x + 1}$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{2} (x - 1) - (x - 1)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)}$

Schritt 2.5.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)}$

Schritt 2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Schritt 2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 1)}$