Algebra Beispiele

$f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$ als Gleichung.

$y = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}} = x$ um.

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{3} + 5)}^{1} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$y^{3} + 5 = x^{5}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = x^{5} - 5$

Schritt 3.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{{({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 5}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 5}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 5}$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{(x^{3} + 5) - 5}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{x^{3} + 5 - 5}$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.2.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{x^{5} - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(\sqrt[3]{x^{5} - 5})}^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{5} - 5}}^{3}$ als $x^{5} - 5$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{5} - 5}$ als ${(x^{5} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({({(x^{5} - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(x^{5} - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(x^{5} - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {({(x^{5} - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {((x^{5} - 5) + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {(x^{5} - 5 + 5)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{5} - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {(x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $x^{5}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{x^{5} - 5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{5} - 5}$