Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + 4} = \frac{1}{2} x + 1$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term mit einem Teiler von $1$ , der alle Nenner gleich macht. In diesem Fall benötigen alle Terme einen Nenner $2$ .

$\sqrt{2 x + 4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2

Multipliziere den Ausdruck mit einem Faktor von $1$ , um den Hauptnenner von $2$ zu erhalten.

$\sqrt{2 x + 4} \cdot 2$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (x) + 4} \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2} \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 (x + 2)} \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 (x + 2)}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (x + 2)}}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4

Multipliziere den Ausdruck mit einem Faktor von $1$ , um den Hauptnenner von $2$ zu erhalten.

$x \cdot 2$

Schritt 5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (x + 2)}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6

Multipliziere den Ausdruck mit einem Faktor von $1$ , um den Hauptnenner von $2$ zu erhalten.

$1 \cdot 2$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (x + 2)}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 8

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sqrt{2 x + 4} \cdot \frac{2}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 4}$ als ${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere ${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 4)}^{1} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.2.1.4

Vereinfache.

$2 x + 4 = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache ${(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.3.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.3.1.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.3.1.1.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{2}$ mit $1$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 9.3.1.1.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}$

Schritt 9.3.1.1.2

Schreibe ${(\frac{x}{2} + 1)}^{2}$ als $(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} + 1)$ um.

$2 x + 4 = (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} + 1)$

Schritt 9.3.1.2

Multipliziere $(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 4 = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + 1) + 1 (\frac{x}{2} + 1)$

Schritt 9.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 4 = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2} + 1)$

Schritt 9.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 4 = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.3.1.1

Multipliziere $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 9.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$2 x + 4 = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x + 4 = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 1$

Schritt 9.3.1.3.2

Addiere $\frac{x}{2}$ und $\frac{x}{2}$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{x}{2} + 1$

Schritt 9.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{x}{2} + 1$

Schritt 9.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{x^{2}}{4} + x + 1 = 2 x + 4$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{4} + x + 1 - 2 x = 4$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} - x + 1 = 4$

Schritt 10.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{4} - x + 1 = 4$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 10.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{4} - x + 1 = 4$ mit $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - x \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Schritt 10.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - x \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Schritt 10.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - x \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Schritt 10.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 x + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Schritt 10.3.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 4 \cdot 4$

Schritt 10.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 16$

Schritt 10.4

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 4 - 16 = 0$

Schritt 10.5

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Schritt 10.6

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 10.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 10.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 10.8

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.8.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 10.8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 10.9

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.9.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 10.9.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 10.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 2$