Algebra Beispiele

${(x + 3)}^{2} \geq 2 (x^{2} + 7)$

Schritt 1

Vereinfache $2 (x^{2} + 7)$ .

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 2 \cdot 7$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 14$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

${(x + 3)}^{2} - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$(x + 3) (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 \geq 14$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 6 x + 9 = 14$

Schritt 4

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 6 x + 9 - 14 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $14$ von $9$ .

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 6 x - 5$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 6 x - 5 = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 5 = 0$

Schritt 6.1.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 6 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 6 x) - 1 (5)$ heraus.

$- (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Schritt 6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 5) (x - 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 8

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 9

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 5) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 1$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${((0) + 3)}^{2} \geq 2 ({(0)}^{2} + 7)$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $9$ ist kleiner als die rechte Seite $14$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${((3) + 3)}^{2} \geq 2 ({(3)}^{2} + 7)$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $36$ ist größer als die rechte Seite $32$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${((8) + 3)}^{2} \geq 2 ({(8)}^{2} + 7)$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $121$ ist kleiner als die rechte Seite $142$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 \leq x \leq 5$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$1 \leq x \leq 5$

Intervallschreibweise:

$[1, 5]$

Schritt 15