Algebra Beispiele

$\frac{1 + \frac{1}{10 - b}}{1 - \frac{1}{10 + b}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(10 - b) (10 + b)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{1}{10 - b}}{1 - \frac{1}{10 + b}}$ mit $\frac{(10 - b) (10 + b)}{(10 - b) (10 + b)}$ .

$\frac{(10 - b) (10 + b)}{(10 - b) (10 + b)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{10 - b}}{1 - \frac{1}{10 + b}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(10 - b) (10 + b) (1 + \frac{1}{10 - b})}{(10 - b) (10 + b) (1 - \frac{1}{10 + b})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) \frac{1}{10 - b}}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) (- \frac{1}{10 + b})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 - b$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) \frac{1}{10 - b}}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) (- \frac{1}{10 + b})}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) (- \frac{1}{10 + b})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 + b$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{10 + b}$ in den Zähler.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) \frac{- 1}{10 + b}}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $10 + b$ aus $(10 - b) (10 + b)$ heraus.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 + b) (10 - b) \frac{- 1}{10 + b}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 + b) (10 - b) \frac{- 1}{10 + b}}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(10 - b) (10 + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(10 (10 + b) - b (10 + b)) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(10 \cdot 10 + 10 b - b (10 + b)) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(10 \cdot 10 + 10 b - b \cdot 10 - b \cdot b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$\frac{(100 + 10 b - b \cdot 10 - b \cdot b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{(100 + 10 b - 10 b - b \cdot b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.3.1

Bewege $b$ .

$\frac{(100 + 10 b - 10 b - (b \cdot b)) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{(100 + 10 b - 10 b - b^{2}) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $10 b$ von $10 b$ .

$\frac{(100 + 0 - b^{2}) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.3

Addiere $100$ und $0$ .

$\frac{(100 - b^{2}) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $100 - b^{2}$ mit $1$ .

$\frac{100 - b^{2} + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.4

Addiere $100$ und $10$ .

$\frac{- b^{2} + 110 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- b^{2} + b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 110 = - 110$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 4.6.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{- b^{2} + 1 b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe $1$ um als $- 10$ plus $11$

$\frac{- b^{2} + (- 10 + 11) b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- b^{2} - 10 b + 11 b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- b^{2} - 10 b) + 11 b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{b (- b - 10) - 11 (- b - 10)}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- b - 10$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $10 - b$ aus $(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $10 - b$ aus $(10 - b) (10 + b) \cdot 1$ heraus.

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) ((10 + b) \cdot 1) + (10 - b) \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $10 - b$ aus $(10 - b) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) ((10 + b) \cdot 1) + (10 - b) (- 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $10 - b$ aus $(10 - b) ((10 + b) \cdot 1) + (10 - b) (- 1)$ heraus.

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) ((10 + b) \cdot 1 - 1)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $10 + b$ mit $1$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) (10 + b - 1)}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$\frac{(- (b) - 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Schritt 6.2

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$\frac{(- (b) - 1 (10)) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - 1 (10)$ heraus.

$\frac{- (b + 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $- (b + 10)$ als $- 1 (b + 10)$ um.

$\frac{- 1 (b + 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Schritt 6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(b + 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$