Algebra Beispiele

$\ln (x - \frac{5}{2}) + \ln (10) = 2 \ln (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{5}{2}) \cdot 10) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot 10 - \frac{5}{2} \cdot 10) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (10 \cdot x - \frac{5}{2} \cdot 10) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$\ln (10 \cdot x + \frac{- 5}{2} \cdot 10) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\ln (10 \cdot x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (5))) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (10 \cdot x + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot 5)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (10 \cdot x - 5 \cdot 5) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\ln (10 x - 25) = 2 \ln (x)$

Schritt 2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (10 x - 25) = \ln (x^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$10 x - 25 = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x - 25 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $10 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 10 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ heraus.

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 4.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$