Algebra Beispiele

$x - 6 > \frac{4}{x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$(x - 6) x = \frac{4}{x} x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(x - 6) x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 6 x = \frac{4}{x} x$

Schritt 2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{4}{x} x$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 6 x = \frac{4}{x} x$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 6 x = 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $36$ und $16$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{13}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{13}, 3 - \sqrt{13}$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $x - 6 - \frac{4}{x}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3 - \sqrt{13}$

$3 - \sqrt{13} < x < 0$

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$

$x > 3 + \sqrt{13}$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3 - \sqrt{13}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3 - \sqrt{13}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 3) - 6 > \frac{4}{- 3}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 9$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $3 - \sqrt{13} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 - \sqrt{13} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.3$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 0.3) - 6 > \frac{4}{- 0.3}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $- 6.3$ ist größer als die rechte Seite $- 13.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3 + \sqrt{13}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3 + \sqrt{13}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3) - 6 > \frac{4}{3}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $- 3$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3 + \sqrt{13}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3 + \sqrt{13}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(9) - 6 > \frac{4}{9}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0.\overline{4}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3 - \sqrt{13}$ Falsch

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$ Falsch

$x > 3 + \sqrt{13}$ Wahr

$x < 3 - \sqrt{13}$ Falsch

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$ Falsch

$x > 3 + \sqrt{13}$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ oder $x > 3 + \sqrt{13}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$3 - \sqrt{13} < x < 0 or x > 3 + \sqrt{13}$

Intervallschreibweise:

$(3 - \sqrt{13}, 0) \cup (3 + \sqrt{13}, \infty)$

Schritt 9