Algebra Beispiele

$\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $2 x$ .

$(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{5 x} (2 x) + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 (x)) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{5} x = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.1.4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.2.1

Multipliziere $2 \frac{4}{5 x}$ .

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Schritt 2.1.1.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{5 x}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{5} + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.1.1.3

Stelle $\frac{8}{5}$ und $\frac{x}{5}$ um.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2 x} (2 x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 (x)} x$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Schritt 2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{8}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{5} = 3 - \frac{8}{5}$

Schritt 3.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{8}{5}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{8}{5}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5 - 8}{5}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{x}{5} = \frac{15 - 8}{5}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $8$ von $15$ .

$\frac{x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 3.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 7$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{7}{10 x} + \frac{1}{10}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{7}{10 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 x = 0$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 0$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 0$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $10$ .

$x = 0$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{5 (- 2)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (- 2)}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 0.3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 0.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{5 (4)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (4)}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $0.3$ ist kleiner als die rechte Seite $0.375$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{5 (10)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (10)}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $0.18$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 7$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 7$

Intervallschreibweise:

$(0, 7)$

Schritt 9