Algebra Beispiele

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 1

Schreibe $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ als eine Differenz von Quadraten um.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sqrt{\cos (θ)}$ und $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

Schritt 4

Setze $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ gleich $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\cos (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

Schritt 4.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos (θ)}$ als ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Schritt 4.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Schritt 4.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \cos (θ)$ an.

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $\cos^{2} (θ)$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

Schritt 4.2.4

Löse nach $\cos (θ)$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $\cos^{2} (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.4.2.1

Es sei $u = \cos (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (θ)$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.4.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Schritt 4.2.4.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- u)$ heraus.

$u (1 - u) = 0$

Schritt 4.2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Schritt 4.2.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Schritt 4.2.4.4

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Schritt 4.2.4.5

Setze $1 - \cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $\cos (θ)$ auf.

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Schritt 4.2.4.5.1

Setze $1 - \cos (θ)$ gleich $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Schritt 4.2.4.5.2

Löse $1 - \cos (θ) = 0$ nach $\cos (θ)$ auf.

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Schritt 4.2.4.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (θ) = - 1$

Schritt 4.2.4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (θ) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (θ) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.4.5.2.2.2.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Schritt 4.2.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ wahr machen.

$\cos (θ) = 0, 1$

Schritt 4.2.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

Schritt 4.2.6

Löse in $\cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (0)$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.6.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.6.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.7

Löse in $\cos (θ) = 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 4.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 4.2.7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - 0$

Schritt 4.2.7.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 4.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 4.2.9.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.2.9.2

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ wahr machen.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$