Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ als Gleichung.

$y = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\sqrt{y + 3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{y + 3}$ mit $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 x^{2} - 3$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 {(- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3})}^{2} - 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\sqrt{x + 3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 {(- \frac{\sqrt{x + 3}}{2})}^{2} - 3$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{x + 3}}{2}$ an.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{x + 3}}{2})}^{2}) - 3$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{x + 3}}{2}$ an.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (1 (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ als $x + 3$ um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{2^{2}}) - 3$

Schritt 5.2.3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Schritt 5.2.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (4 x^{2} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 x^{2} - 3) + 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (4 x^{2} - 3) = - 1 \cdot x$

Schritt 5.3.7

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (4 x^{2} - 3) = - x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$