Algebra Beispiele

$x^{6} - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{6} - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4} + 2 x^{2} - 1$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$x^{6} - (x^{4}) + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$x^{6} - (x^{4}) - (- 2 x^{2}) - 1$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x^{6} - (x^{4}) - (- 2 x^{2}) - 1 (1)$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (- 2 x^{2})$ heraus.

$x^{6} - (x^{4} - 2 x^{2}) - 1 (1)$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 2 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$x^{6} - (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x^{6} - ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1)$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x^{6} - (u^{2} - 2 u + 1)$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{6} - (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{6} - (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$x^{6} - {(u - 1)}^{2}$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{6} - {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{6} - {(x^{2} - 1^{2})}^{2}$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{6} - {((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$x^{6} - ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{6} - {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 11

Schreibe ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ als ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - {((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Schritt 12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{3}$ und $b = (x + 1) (x - 1)$ .

$(x^{3} + (x + 1) (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x (x - 1) + 1 (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(x^{3} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + x - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$(x^{3} + x^{2} + 0 - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 13.3

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x (x - 1) + 1 (x - 1)))$

Schritt 13.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)))$

Schritt 13.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Schritt 13.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Schritt 13.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Schritt 13.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Schritt 13.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1))$

Schritt 13.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + x - 1))$

Schritt 13.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} + 0 - 1))$

Schritt 13.4.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - 1))$

Schritt 13.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - x^{2} - - 1)$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - x^{2} + 1)$