Algebra Beispiele

$\frac{\frac{1}{x^{2}} - 1}{\frac{x - 4}{5} - \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $5 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x^{2}} - 1}{\frac{x - 4}{5} - \frac{1}{x}}$ mit $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{5 x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}} - 1}{\frac{x - 4}{5} - \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{5 x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - 1)}{5 x^{2} (\frac{x - 4}{5} - \frac{1}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 5 x^{2} \cdot - 1}{5 x^{2} \frac{x - 4}{5} + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 5 \frac{1}{x^{2}} + 5 x^{2} \cdot - 1}{5 x^{2} \frac{x - 4}{5} + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 5 \frac{1}{x^{2}} + 5 x^{2} \cdot - 1}{5 x^{2} \frac{x - 4}{5} + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{5 x^{2} \frac{x - 4}{5} + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{5 (x^{2}) \frac{x - 4}{5} + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{5 x^{2} \frac{x - 4}{5} + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{x^{2} (x - 4) + 5 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{x^{2} (x - 4) + 5 x^{2} \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{x^{2} (x - 4) + x (5 x) \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{x^{2} (x - 4) + x (5 x) \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{x^{2} (x - 4) + 5 x \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 + 5 x^{2} \cdot - 1}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5 x^{2}}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 4.2

Schreibe $5 - 5 x^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 - 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1) - 5 x^{2}}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (1) + 5 (- x^{2})}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{5 (1 - x^{2})}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{5 (1^{2} - x^{2})}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 4.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x^{2} (x - 4) - 5 x}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x - 4) - 5 x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x - 4)$ heraus.

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x (x - 4)) - 5 x}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x (x - 4)) + x \cdot - 5}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (x - 4)) + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x (x - 4) - 5)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 5)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x^{2} + x \cdot - 4 - 5)}$

Schritt 5.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x^{2} - 4 \cdot x - 5)}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 5.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x ((x - 5) (x + 1))}$

$\frac{5 (1 + x) (1 - x)}{x (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und $x + 1$ .

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{5 (x + 1) (1 - x)}{x (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x + 1) (1 - x)}{x (x - 5) (x + 1)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (1 - x)}{x (x - 5)}$