Algebra Beispiele

$y = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y + 1}{3 - 2 y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$ um.

$\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 - 2 y, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$3 - 2 y, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 - 2 y$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$ mit $3 - 2 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$ mit $3 - 2 y$ .

$\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} (3 - 2 y) = x (3 - 2 y)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - 2 y$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} (3 - 2 y) = x (3 - 2 y)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y + 1 = x (3 - 2 y)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 1 = x \cdot 3 + x (- 2 y)$

Schritt 2.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 y + 1 = 3 \cdot x + x (- 2 y)$

Schritt 2.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y + 1 = 3 x - 2 x y$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 1 + 2 x y = 3 x$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 2 x y = 3 x - 1$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y + 2 x y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y$ heraus.

$2 y (1) + 2 x y = 3 x - 1$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y$ heraus.

$2 y (1) + 2 y (x) = 3 x - 1$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (1) + 2 y (x)$ heraus.

$2 y (1 + x) = 3 x - 1$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y (1 + x) = 3 x - 1$ durch $2 (1 + x)$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y (1 + x) = 3 x - 1$ durch $2 (1 + x)$ .

$\frac{2 y (1 + x)}{2 (1 + x)} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y (1 + x)}{2 (1 + x)} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Schritt 2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Schritt 2.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{3 (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})} - \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{3 (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})} - \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{3 (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) - 1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1)}{3 - 2 x} - 1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1)}{3 - 2 x} - 1 \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.7.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1)}{3 - 2 x} + \frac{- (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1) - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 \cdot 1 - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - 1 \cdot 3 - (- 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - 3 - (- 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - 3 + 2 x}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.7

Addiere $6 x$ und $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{8 x + 3 - 3}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.8

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{8 x + 0}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.8.9

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{8 x}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{8 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{2 (4 x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{2 (4 x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}}$

Schritt 4.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{4 x}{3 - 2 x}$ mit $\frac{1}{1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.11.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.11.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{3 - 2 x + 2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Schritt 4.2.11.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{2 x - 2 x + 3 + 1}{- 2 x + 3})}$

Schritt 4.2.11.4

Schreibe $\frac{2 x - 2 x + 3 + 1}{- 2 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.11.4.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{0 + 3 + 1}{- 2 x + 3})}$

Schritt 4.2.11.4.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{3 + 1}{- 2 x + 3})}$

Schritt 4.2.11.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{4}{- 2 x + 3})}$

Schritt 4.2.12

Faktorisiere $\frac{4}{- 2 x + 3}$ aus $\frac{4 x}{(3 - 2 x) \frac{4}{- 2 x + 3}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{- 2 x + 3}{4} \cdot \frac{4 x}{3 - 2 x}$

Schritt 4.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{- 2 x + 3}{4} \cdot \frac{4 (x)}{3 - 2 x}$

Schritt 4.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{- 2 x + 3}{4} \cdot \frac{4 x}{3 - 2 x}$

Schritt 4.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = (- 2 x + 3) (\frac{x}{3 - 2 x})$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $- 2 x + 3$ mit $\frac{x}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 3) x}{3 - 2 x}$

Schritt 4.2.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + 3$ und $3 - 2 x$ .

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Schritt 4.2.15.1

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 3) x}{- 2 x + 3}$

Schritt 4.2.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 3) x}{- 2 x + 3}$

Schritt 4.2.15.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)}) + 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)}) + 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 (1 + x)}$ in den Zähler.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + 2 (\frac{- 1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + 2 (\frac{- 1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x} + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x - 1}{1 + x} + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x - 1}{1 + x} + \frac{1 + x}{1 + x}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x - 1 + 1 + x}{1 + x}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.7

Stelle die Terme um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x + x - 1 + 1}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.8

Schreibe $\frac{3 x + x - 1 + 1}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.8.1

Addiere $3 x$ und $x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x - 1 + 1}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.8.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x + 0}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.3.8.3

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 2 \frac{3 x}{2 (1 + x)} - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 + 2 (- 1) (\frac{3 x}{2 (1 + x)}) - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 (1 + x)}) - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 (1 + x)}$ in den Zähler.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} - 2 \frac{- 1}{2 (1 + x)}}$

Schritt 4.3.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 (1 + x)})}$

Schritt 4.3.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} - 1 \frac{- 1}{1 + x}}$

Schritt 4.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.4.1

Schreibe $- 1 \frac{3 x}{1 + x}$ als $- \frac{3 x}{1 + x}$ um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} - 1 \frac{- 1}{1 + x}}$

Schritt 4.3.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} - 1 (- \frac{1}{1 + x})}$

Schritt 4.3.4.4.3

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{1 + x})$ .

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Schritt 4.3.4.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} + 1 (\frac{1}{1 + x})}$

Schritt 4.3.4.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}}$

Schritt 4.3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 + \frac{- 3 x + 1}{1 + x}}$

Schritt 4.3.4.6

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{3 (1 + x)}{1 + x} + \frac{- 3 x + 1}{1 + x}}$

Schritt 4.3.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{3 (1 + x) - 3 x + 1}{1 + x}}$

Schritt 4.3.4.8

Stelle die Terme um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{- 3 x + 3 (1 + x) + 1}{x + 1}}$

Schritt 4.3.4.9

Schreibe $\frac{- 3 x + 3 (1 + x) + 1}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{- 3 x + 3 \cdot 1 + 3 x + 1}{x + 1}}$

Schritt 4.3.4.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{- 3 x + 3 + 3 x + 1}{x + 1}}$

Schritt 4.3.4.9.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{0 + 3 + 1}{x + 1}}$

Schritt 4.3.4.9.4

Addiere $0$ und $3$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{3 + 1}{x + 1}}$

Schritt 4.3.4.9.5

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{4}{x + 1}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{4 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{4 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{4 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4}$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$