Algebra Beispiele

$8 {(x + y)}^{3} - y^{3}$

Schritt 1

Schreibe $8 {(x + y)}^{3}$ als ${(2 (x + y))}^{3}$ um.

${(2 (x + y))}^{3} - y^{3}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 (x + y)$ und $b = y$ .

$(2 (x + y) - y) ({(2 (x + y))}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 y - y) ({(2 (x + y))}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.2

Subtrahiere $y$ von $2 y$ .

$(2 x + y) ({(2 (x + y))}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + y) ({(2 x + 2 y)}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.4

Schreibe ${(2 x + 2 y)}^{2}$ als $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ um.

$(2 x + y) ((2 x + 2 y) (2 x + 2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.5

Multipliziere $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + y) (2 x (2 x + 2 y) + 2 y (2 x + 2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + y) (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x + 2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + y) (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x + y) (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$(2 x + y) (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x + y) (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 2 \cdot 2 y x + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.9

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.9.1

Bewege $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 4 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.2

Addiere $4 x y$ und $4 y x$ .

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Schritt 3.6.2.1

Bewege $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 x y + 4 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $4 x y$ und $4 x y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Schritt 3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + (2 x + 2 y) y + y^{2})$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + y^{2})$

Schritt 3.9

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.9.1

Bewege $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 x y + 2 (y \cdot y) + y^{2})$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + y^{2})$

Schritt 3.10

Addiere $8 x y$ und $2 x y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 y^{2} + 10 x y + 2 y^{2} + y^{2})$

Schritt 3.11

Addiere $4 y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 6 y^{2} + 10 x y + y^{2})$

Schritt 3.12

Addiere $6 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 7 y^{2} + 10 x y)$