Algebra Beispiele

$2^{2 x} - 2^{x + 1} - 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe $2^{x + 1}$ als $2^{x} \cdot 2^{1}$ um.

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Schritt 2

Schreibe $2^{2 x}$ als Potenz um.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Schritt 4

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - u \cdot 2 - 8 = 0$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 6.3

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 6.4

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 4, - 2$

Schritt 7

Setze $4$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$4 = 2^{x}$

Schritt 8

Löse $4 = 2^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 4$ um.

$2^{x} = 4$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{2}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 9

Setze $- 2$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$- 2 = 2^{x}$

Schritt 10

Löse $- 2 = 2^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = - 2$ um.

$2^{x} = - 2$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Schritt 10.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 2)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 10.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = - 2$

Keine Lösung

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = 2$