Algebra Beispiele

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$ um.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2 a$ .

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a) = x (2 a)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 (a)} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} = x (2 a)$

Schritt 3.1.1.4

Stelle $b^{2}$ und $- 4 a c$ um.

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = x (2 a)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a$

Schritt 4

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a + b$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 4 a c + b^{2}}$ als ${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 4 a c + b^{2})}^{1} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache.

$- 4 a c + b^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache ${(2 x a + b)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe ${(2 x a + b)}^{2}$ als $(2 x a + b) (2 x a + b)$ um.

$- 4 a c + b^{2} = (2 x a + b) (2 x a + b)$

Schritt 4.3.3.1.2

Multipliziere $(2 x a + b) (2 x a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a + b) + b (2 x a + b)$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a + b)$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 (x \cdot x) a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} (a \cdot a) \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a^{2} \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b^{2}$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Bewege $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 a b x + 2 a b x + b^{2}$

Schritt 4.3.3.1.3.3

Addiere $2 a b x$ und $2 a b x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2}$

Schritt 4.4

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Subtrahiere $b^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 a c = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} - b^{2}$

Schritt 4.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} - b^{2}$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Subtrahiere $b^{2}$ von $b^{2}$ .

$- 4 a c = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 0$

Schritt 4.4.1.2.2

Addiere $4 x^{2} a^{2} + 4 a b x$ und $0$ .

$- 4 a c = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a c = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x$ durch $- 4 a$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a c = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x$ durch $- 4 a$ .

$\frac{- 4 a c}{- 4 a} = \frac{4 x^{2} a^{2}}{- 4 a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 a c}{- 4 a} = \frac{4 x^{2} a^{2}}{- 4 a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a c}{a} = \frac{4 x^{2} a^{2}}{- 4 a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a c}{a} = \frac{4 x^{2} a^{2}}{- 4 a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.2.2.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{4 x^{2} a^{2}}{- 4 a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 4.4.2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} a^{2}$ heraus.

$c = \frac{4 (x^{2} a^{2})}{- 4 a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 a$ heraus.

$c = \frac{4 (x^{2} a^{2})}{4 (- a)} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = \frac{4 (x^{2} a^{2})}{4 (- a)} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$c = \frac{x^{2} a^{2}}{- a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{2}$ und $a$ .

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Schritt 4.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $a$ aus $x^{2} a^{2}$ heraus.

$c = \frac{a (x^{2} a)}{- a} + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2} a}{- 1}$ .

$c = - 1 \cdot (x^{2} a) + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (x^{2} a)$ als $- (x^{2} a)$ um.

$c = - (x^{2} a) + \frac{4 a b x}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 4.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a b x$ heraus.

$c = - x^{2} a + \frac{4 (a b x)}{- 4 a}$

Schritt 4.4.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 a$ heraus.

$c = - x^{2} a + \frac{4 (a b x)}{4 (- a)}$

Schritt 4.4.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = - x^{2} a + \frac{4 (a b x)}{4 (- a)}$

Schritt 4.4.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$c = - x^{2} a + \frac{a b x}{- a}$

Schritt 4.4.2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.4.2.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = - x^{2} a + \frac{a b x}{- a}$

Schritt 4.4.2.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$c = - x^{2} a + \frac{b x}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3.1.5.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{b x}{- 1}$ .

$c = - x^{2} a - 1 \cdot (b x)$

Schritt 4.4.2.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot (b x)$ als $- (b x)$ um.

$c = - x^{2} a - b x$