Algebra Beispiele

$x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 24 y = - 52$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $52$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 24 y + 52 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 24$ und $c = x^{2} - 4 x + 52$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (x^{2} - 4 x + 52))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 52)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (x^{2} - 4 x + 52)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} - 12 (- 4 x) - 12 \cdot 52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} + 48 x - 12 \cdot 52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $52$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} + 48 x - 624}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $624$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 12 x^{2} + 48 x - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6

Schreibe $- 12 x^{2} + 48 x - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} + 48 x - 48$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 48 x - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.1.2

Faktorisiere $12$ aus $48 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (4 x) - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.1.3

Faktorisiere $12$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (4 x) + 12 (- 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 x) + 12 (- 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2} + 4 x) + 12 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 1.4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.2.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 ((- x + 2) (x - 2))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x + 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x) + 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x) - 1 \cdot - 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x - 2)) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.5

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.6

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 {(x - 2)}^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.6.3.9

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 12 {(x - 2)}^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $- 12 {(x - 2)}^{2}$ als ${(2 (x - 2))}^{2} \cdot - 3$ um.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4 (- 3) {(x - 2)}^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 3 {(x - 2)}^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7.3

Bewege $- 3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.7.4

Schreibe $2^{2} {(x - 2)}^{2}$ als ${(2 (x - 2))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2 (x - 2))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.11

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm (2 x + 2 \cdot - 2) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 24 \pm (2 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 52)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (x^{2} - 4 x + 52)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} - 12 (- 4 x) - 12 \cdot 52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} + 48 x - 12 \cdot 52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $52$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} + 48 x - 624}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $624$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 12 x^{2} + 48 x - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6

Schreibe $- 12 x^{2} + 48 x - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} + 48 x - 48$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 48 x - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.1.2

Faktorisiere $12$ aus $48 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (4 x) - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.1.3

Faktorisiere $12$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (4 x) + 12 (- 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 x) + 12 (- 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2} + 4 x) + 12 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.5.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 1.5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.2.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 ((- x + 2) (x - 2))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x + 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x) + 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x) - 1 \cdot - 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x - 2)) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.5

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.6

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 {(x - 2)}^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.6.3.9

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 12 {(x - 2)}^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $- 12 {(x - 2)}^{2}$ als ${(2 (x - 2))}^{2} \cdot - 3$ um.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4 (- 3) {(x - 2)}^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 3 {(x - 2)}^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7.3

Bewege $- 3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.7.4

Schreibe $2^{2} {(x - 2)}^{2}$ als ${(2 (x - 2))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2 (x - 2))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.11

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm (2 x + 2 \cdot - 2) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 24 \pm (2 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 24 + 2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24 + 2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 12 + 2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x i \sqrt{3}$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 12 + 2 (x i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 i \sqrt{3}$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 12 + 2 (x i \sqrt{3}) + 2 (- 2 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x i \sqrt{3}) + 2 (- 2 i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 12 + 2 (x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 12 + 2 (x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot (- 12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot (- 12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3})}{2 (3)}$

Schritt 1.5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot (- 12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.5.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} - 12}{3}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 52)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (x^{2} - 4 x + 52)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} - 12 (- 4 x) - 12 \cdot 52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} + 48 x - 12 \cdot 52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $52$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 12 x^{2} + 48 x - 624}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.5

Subtrahiere $624$ von $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 12 x^{2} + 48 x - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6

Schreibe $- 12 x^{2} + 48 x - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} + 48 x - 48$ heraus.

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Schritt 1.6.1.6.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 48 x - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.1.2

Faktorisiere $12$ aus $48 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (4 x) - 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.1.3

Faktorisiere $12$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (4 x) + 12 (- 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 x) + 12 (- 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2} + 4 x) + 12 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.6.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 1.6.1.6.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.2.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.6.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 ((- x + 2) (x - 2))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- x + 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.6.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x) + 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x) - 1 \cdot - 2) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- (x - 2)) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.5

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.6

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{12 \cdot (- 1 {(x - 2)}^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.6.3.9

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 12 {(x - 2)}^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.7

Schreibe $- 12 {(x - 2)}^{2}$ als ${(2 (x - 2))}^{2} \cdot - 3$ um.

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Schritt 1.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4 (- 3) {(x - 2)}^{2}}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 3 {(x - 2)}^{2})}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.7.3

Bewege $- 3$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.7.4

Schreibe $2^{2} {(x - 2)}^{2}$ als ${(2 (x - 2))}^{2}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2 (x - 2))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.11

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 24 \pm 2 (x - 2) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm (2 x + 2 \cdot - 2) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 24 \pm (2 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 24 \pm (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 24 \pm (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 24 - (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24 - (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ und $6$ .

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Schritt 1.6.4.1

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 24 - (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (24) - (2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (24 + 2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{6}$

Schritt 1.6.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (24 + 2 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1 (12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}))}{6}$

Schritt 1.6.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{2 (- 1 (12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}))}{2 (3)}$

Schritt 1.6.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (- 1 (12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}))}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.6.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1 (12 + x i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3})}{3}$

Schritt 1.6.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 1 (i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12)}{3}$

Schritt 1.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} - 12}{3}$

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}$

$y = \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} - 12}{3}$

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}$

Schritt 2

Dividiere den ersten Ausdruck durch den zweiten Ausdruck.

$y = \frac{\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} - 12}{3}}{- \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} - 12}{3}$ aus.

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Schritt 3.1

Zerlege den Bruch $\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} - 12}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{- 12}{3}}{- \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Bruch $\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{- 12}{3}}{- \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}}$

Schritt 4

Multipliziere $- \frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}$ aus.

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Schritt 4.1

Zerlege den Bruch $\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 12}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{- 12}{3}}{- (\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{12}{3})}$

Schritt 4.2

Zerlege den Bruch $\frac{i x \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3}}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{- 12}{3}}{- (\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{12}{3})}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{- 12}{3}}{- (\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}) - \frac{12}{3}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{i x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} + \frac{- 12}{3}}{- \frac{i x \sqrt{3}}{3} - \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} - \frac{12}{3}}$

Schritt 5

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$

$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$

$\frac{12}{3}$

$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$

$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$

$\frac{- 12}{3}$

Schritt 6

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $\frac{i x \sqrt{3}}{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- \frac{i x \sqrt{3}}{3}$ .

						-	$1$
-	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{12}{3}$		$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 12}{3}$

Schritt 7

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						-	$1$
-	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{12}{3}$		$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 12}{3}$
						+	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{2 i \sqrt{3}}{3}$	+	$4$

Schritt 8

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $\frac{i x \sqrt{3}}{3} - \frac{2 i \sqrt{3}}{3} + 4$

						-	$1$
-	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{12}{3}$		$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 12}{3}$
						-	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{2 i \sqrt{3}}{3}$	-	$4$

Schritt 9

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						-	$1$
-	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	-	$\frac{12}{3}$		$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 2 i \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{- 12}{3}$
						-	$\frac{i x \sqrt{3}}{3}$	+	$\frac{2 i \sqrt{3}}{3}$	-	$4$
										-	$8$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y = - 1 - \frac{8}{- \frac{i x \sqrt{3}}{3} - \frac{- 2 i \sqrt{3}}{3} - \frac{12}{3}}$

Schritt 11