Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 3 > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x + 3 > {\sqrt{3^{2} - x^{2}}}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$x + 3 > {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ als $(3 + x) (3 - x)$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ als ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 3 > {({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.5

Vereinfache.

$x + 3 > (3 + x) (3 - x)$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $(3 + x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 3 > 3 (3 - x) + x (3 - x)$

Schritt 2.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)$

Schritt 2.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x + 3 > 9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.5.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)$

Schritt 2.3.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)$

Schritt 2.3.1.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x^{2}$

Schritt 2.3.1.5.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$x + 3 > 9 + 0 - x^{2}$

Schritt 2.3.1.5.3

Addiere $9$ und $0$ .

$x + 3 > 9 - x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $x^{2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x + 3 + x^{2} > 9$

Schritt 3.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x + 3 + x^{2} = 9$

Schritt 3.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 3 + x^{2} - 9 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$u + u^{2} - 6 = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 3.5.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x + 3} - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 \geq 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 3$

Schritt 4.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 4.4.2

Setze $3 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.4.3

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.3.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 4.4.3.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 4.4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.4.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 4.4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 4.4.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 4.4.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.4.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.4.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 4.4.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 4.4.6.1.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.4.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.4.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.4.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Schritt 4.4.6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.4.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.4.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 4.4.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Schritt 4.4.6.3.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.4.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 4.4.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x \leq 3$

Schritt 4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 3, 3]$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{9 - {(- 6)}^{2}}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $1.7320508$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(2.5) + 3} > \sqrt{9 - {(2.5)}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $2.34520787$ ist größer als die rechte Seite $1.65831239$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{9 - {(6)}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 3$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 < x < 3$

Intervallschreibweise:

$(2, 3)$

Schritt 9