Algebra Beispiele

$\sqrt{2 \sqrt{7} - \sqrt{12}} \cdot \sqrt{2 \sqrt{7} + \sqrt{12}}$

Schritt 1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - \sqrt{12}) \cdot (2 \sqrt{7} + \sqrt{12})}$

Schritt 2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - \sqrt{4 (3)}) (2 \sqrt{7} + \sqrt{12})}$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - \sqrt{2^{2} \cdot 3}) (2 \sqrt{7} + \sqrt{12})}$

Schritt 3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - (2 \sqrt{3})) (2 \sqrt{7} + \sqrt{12})}$

Schritt 4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{7} + \sqrt{12})}$

Schritt 5

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{7} + \sqrt{4 (3)})}$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{7} + \sqrt{2^{2} \cdot 3})}$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{(2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})}$

Schritt 7

Multipliziere $(2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

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Schritt 8.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 \sqrt{7} \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.1.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.1.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{4 {\sqrt{7}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{7}}^{2} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 8.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 7^{1} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 7 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\sqrt{28 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{7} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{3 \cdot 7} - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.5

Multipliziere $- 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{7})$ .

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Schritt 8.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{3} \sqrt{7} - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{7 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.5.3

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.6

Multipliziere $- 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.1.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 8.1.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 8.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 \cdot 3^{1}}$

Schritt 8.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 4 \cdot 3}$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\sqrt{28 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21} - 12}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $12$ von $28$ .

$\sqrt{16 + 4 \sqrt{21} - 4 \sqrt{21}}$

Schritt 8.3

Subtrahiere $4 \sqrt{21}$ von $4 \sqrt{21}$ .

$\sqrt{16 + 0}$

Schritt 8.4

Addiere $16$ und $0$ .

$\sqrt{16}$

Schritt 9

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2}}$

Schritt 10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4$