Algebra Beispiele

$\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$m, n, m n, 1$

Schritt 1.2

Da $m, n, m n, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ .

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.6

Der Teiler von $m^{1}$ ist $m$ selbst.

$m^{1} = m$

$m$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Der Teiler von $n^{1}$ ist $n$ selbst.

$n^{1} = n$

$n$ occurs $1$ time.

Schritt 1.8

Der Teiler von $m^{1}$ ist $m$ selbst.

$m^{1} = m$

$m$ occurs $1$ time.

Schritt 1.9

Der Teiler von $n^{1}$ ist $n$ selbst.

$n^{1} = n$

$n$ occurs $1$ time.

Schritt 1.10

Das kgV von $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$m \cdot n$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $m$ mit $n$ .

$m n$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ mit $m n$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ mit $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $m$ aus $m n$ heraus.

$\frac{x + m}{m} (m (n)) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + m) n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x n + m n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x + n}{n}$ in den Zähler.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.3.2

Faktorisiere $n$ aus $m n$ heraus.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$x n + m n - (x + n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x n + m n + (- x - n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x n + m n - x m - n m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x n + m n - x m - n m$ .

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Schritt 2.2.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $m n$ und $- n m$ neu an.

$x n + m n - x m - m n = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $m n$ von $m n$ .

$x n - x m + 0 = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $x n - x m$ und $0$ .

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m n$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 (m n)$

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x n - x m$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x n$ heraus.

$x (n) - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x m$ heraus.

$x (n) + x (- 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (n) + x (- 1 m)$ heraus.

$x (n - 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 m$ als $- m$ um.

$x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ durch $n - m$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ durch $n - m$ .

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n - m$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Schritt 3.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{m^{2} + n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Schritt 3.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{m^{2} + n^{2} - 2 m n}{n - m}$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.3.2.1

Ordne Terme um.

$x = \frac{m^{2} - 2 m n + n^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 m n = 2 \cdot m \cdot n$

Schritt 3.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x = \frac{m^{2} - 2 \cdot m \cdot n + n^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = m$ und $b = n$ .

$x = \frac{{(m - n)}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(m - n)}^{2}$ und $n - m$ .

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Schritt 3.3.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $m$ heraus.

$x = \frac{{(- 1 (- m) - n)}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- n$ heraus.

$x = \frac{{(- 1 (- m) - (n))}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- m) - (n)$ heraus.

$x = \frac{{(- 1 (- m + n))}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3.4

Wende die Produktregel auf $- 1 (- m + n)$ an.

$x = \frac{{(- 1)}^{2} {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3.6

Mutltipliziere ${(- m + n)}^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Schritt 3.3.3.3.7

Stelle die Terme um.

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{- m + n}$

Schritt 3.3.3.3.8

Faktorisiere $- m + n$ aus ${(- m + n)}^{2}$ heraus.

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{- m + n}$

Schritt 3.3.3.3.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.9.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Schritt 3.3.3.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Schritt 3.3.3.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- m + n}{1}$

Schritt 3.3.3.3.9.4

Dividiere $- m + n$ durch $1$ .

$x = - m + n$