Algebra Beispiele

$\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 1) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 1) - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - x - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x - x - 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x - 1 + 2 x$ .

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$