Algebra Beispiele

$| \frac{4}{7} + 2 x | \leq \frac{2}{5}$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{4}{7} + 2 x | \leq \frac{2}{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{4}{7} + 2 x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $\frac{4}{7}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - \frac{4}{7}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - \frac{4}{7}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - \frac{4}{7}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- \frac{4}{7}}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- \frac{4}{7}}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- \frac{4}{7}}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \geq - \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{7}$ in den Zähler.

$x \geq \frac{- 4}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x \geq \frac{2 (- 2)}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq \frac{2 \cdot - 2}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x \geq \frac{- 2}{7}$

Schritt 1.2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{2}{7}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{4}{7} + 2 x$ nicht negativ ist.

$\frac{4}{7} + 2 x \leq \frac{2}{5}$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{4}{7} + 2 x < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $\frac{4}{7}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < - \frac{4}{7}$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - \frac{4}{7}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - \frac{4}{7}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{4}{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{4}{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- \frac{4}{7}}{2}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x < - \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{7}$ in den Zähler.

$x < \frac{- 4}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x < \frac{2 (- 2)}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{2 \cdot - 2}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.5.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{- 2}{7}$

Schritt 1.5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{2}{7}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{4}{7} + 2 x$ negativ ist.

$- (\frac{4}{7} + 2 x) \leq \frac{2}{5}$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{4}{7} + 2 x \leq \frac{2}{5} & x \geq - \frac{2}{7} \\ - (\frac{4}{7} + 2 x) \leq \frac{2}{5} & x < - \frac{2}{7} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (\frac{4}{7} + 2 x) \leq \frac{2}{5}$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{4}{7} + 2 x \leq \frac{2}{5} & x \geq - \frac{2}{7} \\ - \frac{4}{7} - (2 x) \leq \frac{2}{5} & x < - \frac{2}{7} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{4}{7} + 2 x \leq \frac{2}{5} & x \geq - \frac{2}{7} \\ - \frac{4}{7} - 2 x \leq \frac{2}{5} & x < - \frac{2}{7} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{4}{7} + 2 x \leq \frac{2}{5}$ , wenn $x \geq - \frac{2}{7}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $\frac{4}{7} + 2 x \leq \frac{2}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $\frac{4}{7}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \leq \frac{2}{5} - \frac{4}{7}$

Schritt 2.1.1.2

Um $\frac{2}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$2 x \leq \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7}$

Schritt 2.1.1.3

Um $- \frac{4}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$2 x \leq \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5}$

Schritt 2.1.1.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{35}$

Schritt 2.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x \leq \frac{2 \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35}$

Schritt 2.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$2 x \leq \frac{14 - 4 \cdot 5}{35}$

Schritt 2.1.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$2 x \leq \frac{14 - 20}{35}$

Schritt 2.1.1.6.3

Subtrahiere $20$ von $14$ .

$2 x \leq \frac{- 6}{35}$

Schritt 2.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x \leq - \frac{6}{35}$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \leq - \frac{6}{35}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \leq - \frac{6}{35}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{- \frac{6}{35}}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{- \frac{6}{35}}{2}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- \frac{6}{35}}{2}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \leq - \frac{6}{35} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{35}$ in den Zähler.

$x \leq \frac{- 6}{35} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x \leq \frac{2 (- 3)}{35} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \leq \frac{2 \cdot - 3}{35} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x \leq \frac{- 3}{35}$

Schritt 2.1.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \leq - \frac{3}{35}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq - \frac{3}{35}$ und $x \geq - \frac{2}{7}$ .

$- \frac{2}{7} \leq x \leq - \frac{3}{35}$

Schritt 3

Löse $- \frac{4}{7} - 2 x \leq \frac{2}{5}$ , wenn $x < - \frac{2}{7}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- \frac{4}{7} - 2 x \leq \frac{2}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $\frac{4}{7}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x \leq \frac{2}{5} + \frac{4}{7}$

Schritt 3.1.1.2

Um $\frac{2}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- 2 x \leq \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{4}{7}$

Schritt 3.1.1.3

Um $\frac{4}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 2 x \leq \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- 2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.1.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$- 2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.1.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- 2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5}$

Schritt 3.1.1.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$- 2 x \leq \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{4 \cdot 5}{35}$

Schritt 3.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 x \leq \frac{2 \cdot 7 + 4 \cdot 5}{35}$

Schritt 3.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- 2 x \leq \frac{14 + 4 \cdot 5}{35}$

Schritt 3.1.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$- 2 x \leq \frac{14 + 20}{35}$

Schritt 3.1.1.6.3

Addiere $14$ und $20$ .

$- 2 x \leq \frac{34}{35}$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x \leq \frac{34}{35}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x \leq \frac{34}{35}$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{\frac{34}{35}}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{\frac{34}{35}}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\frac{34}{35}}{- 2}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \geq \frac{34}{35} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$x \geq \frac{2 (17)}{35} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.1.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x \geq \frac{2 \cdot 17}{35} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq \frac{2 \cdot 17}{35} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x \geq \frac{17}{35} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{17}{35}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$x \geq \frac{17}{35 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.3.4.1

Mutltipliziere $35$ mit $- 1$ .

$x \geq \frac{17}{- 35}$

Schritt 3.1.2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{17}{35}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \frac{17}{35}$ und $x < - \frac{2}{7}$ .

$- \frac{17}{35} \leq x < - \frac{2}{7}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{17}{35} \leq x \leq - \frac{3}{35}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{17}{35} \leq x \leq - \frac{3}{35}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{17}{35}, - \frac{3}{35}]$

Schritt 6