Algebra Beispiele

$\frac{2 x + 1}{3} + \frac{3 x - 5}{4} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{2 x + 1}{3} + \frac{3 x - 5}{4}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{2 x + 1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 x + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x - 5}{4} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.2

Um $\frac{3 x - 5}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x + 1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{12} + \frac{3 x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{3 x - 5}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{12} + \frac{(3 x - 5) \cdot 3}{4 \cdot 3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{12} + \frac{(3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x + 1 \cdot 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{8 x + 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x + 4 + 3 x \cdot 3 - 5 \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{8 x + 4 + 9 x - 5 \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{8 x + 4 + 9 x - 15}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.7

Addiere $8 x$ und $9 x$ .

$\frac{17 x + 4 - 15}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 1.5.8

Subtrahiere $15$ von $4$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{4 x - 3}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x - 3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x + 1}{2}$

Schritt 2.2

Um $\frac{x + 1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x - 3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x - 3}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{10} + \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{10} + \frac{(x + 1) \cdot 5}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{10} + \frac{(x + 1) \cdot 5}{10}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x \cdot 2 - 3 \cdot 2 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 3 \cdot 2 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + x \cdot 5 + 1 \cdot 5}{10}$

Schritt 2.5.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + 5 \cdot x + 1 \cdot 5}{10}$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + 5 \cdot x + 5}{10}$

Schritt 2.5.7

Addiere $8 x$ und $5 x$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{13 x - 6 + 5}{10}$

Schritt 2.5.8

Addiere $- 6$ und $5$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{13 x - 1}{10}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{13 x - 1}{10}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{17 x - 11}{12} - \frac{13 x - 1}{10} < 0$

Schritt 3.2

Um $\frac{17 x - 11}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{13 x - 1}{10} < 0$

Schritt 3.3

Um $- \frac{13 x - 1}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{13 x - 1}{10} \cdot \frac{6}{6} < 0$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{17 x - 11}{12}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{13 x - 1}{10} \cdot \frac{6}{6} < 0$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $5$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{60} - \frac{13 x - 1}{10} \cdot \frac{6}{6} < 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{13 x - 1}{10}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{60} - \frac{(13 x - 1) \cdot 6}{10 \cdot 6} < 0$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{60} - \frac{(13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 x \cdot 5 - 11 \cdot 5 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $17$ .

$\frac{85 x - 11 \cdot 5 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $- 11$ mit $5$ .

$\frac{85 x - 55 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{85 x - 55 + (- (13 x) - - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$\frac{85 x - 55 + (- 13 x - - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{85 x - 55 + (- 13 x + 1) \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{85 x - 55 - 13 x \cdot 6 + 1 \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.8

Mutltipliziere $6$ mit $- 13$ .

$\frac{85 x - 55 - 78 x + 1 \cdot 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{85 x - 55 - 78 x + 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.10

Subtrahiere $78 x$ von $85 x$ .

$\frac{7 x - 55 + 6}{60} < 0$

Schritt 3.6.11

Addiere $- 55$ und $6$ .

$\frac{7 x - 49}{60} < 0$

Schritt 3.6.12

Faktorisiere $7$ aus $7 x - 49$ heraus.

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Schritt 3.6.12.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{7 (x) - 49}{60} < 0$

Schritt 3.6.12.2

Faktorisiere $7$ aus $- 49$ heraus.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 7}{60} < 0$

Schritt 3.6.12.3

Faktorisiere $7$ aus $7 x + 7 \cdot - 7$ heraus.

$\frac{7 (x - 7)}{60} < 0$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $60$ .

$\frac{7 (x - 7)}{60} \cdot 60 < 0 \cdot 60$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\frac{7 (x - 7)}{60} \cdot 60$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (x - 7)}{60} \cdot 60 < 0 \cdot 60$

Schritt 5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 (x - 7) < 0 \cdot 60$

Schritt 5.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x + 7 \cdot - 7 < 0 \cdot 60$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$7 x - 49 < 0 \cdot 60$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $60$ .

$7 x - 49 < 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $49$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$7 x < 49$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x < 49$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x < 49$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} < \frac{49}{7}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} < \frac{49}{7}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{49}{7}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $49$ durch $7$ .

$x < 7$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 7$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 7)$