Algebra Beispiele

$y = x^{2} + 3$ $3 x - y + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} + 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $3 x - y + 1 = 0$ durch $x^{2} + 3$ .

$3 x - (x^{2} + 3) + 1 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $3 x - (x^{2} + 3) + 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - x^{2} - 1 \cdot 3 + 1 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 x - x^{2} - 3 + 1 = 0$

$y = x^{2} + 3$

$3 x - x^{2} - 3 + 1 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$3 x - x^{2} - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

$3 x - x^{2} - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

$3 x - x^{2} - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

$3 x - x^{2} - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2

Löse in $3 x - x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 u - u^{2} - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$- u^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.2.2

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$- u^{2} + (1 + 2) u - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} + 1 u + 2 u - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- u^{2} + u + 2 u - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

$- u^{2} + u + 2 u - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} + u) + 2 u - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u + 1) - 2 (- u + 1) = 0$

$y = x^{2} + 3$

$u (- u + 1) - 2 (- u + 1) = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - 2) = 0$

$y = x^{2} + 3$

$(- u + 1) (u - 2) = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(- x + 1) (x - 2) = 0$

$y = x^{2} + 3$

$(- x + 1) (x - 2) = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.3

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.3.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

$y = x^{2} + 3$

$x = \frac{- 1}{- 1}$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

$y = x^{2} + 3$

$x = 1$

$y = x^{2} + 3$

$x = 1$

$y = x^{2} + 3$

$x = 1$

$y = x^{2} + 3$

$x = 1$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

$y = x^{2} + 3$

$x = 2$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 2$

$y = x^{2} + 3$

$x = 1, 2$

$y = x^{2} + 3$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 3$ durch $1$ .

$y = {(1)}^{2} + 3$

$x = 1$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(1)}^{2} + 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 + 3$

$x = 1$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 3$ durch $2$ .

$y = {(2)}^{2} + 3$

$x = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(2)}^{2} + 3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 + 3$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$y = 7$

$x = 2$

$y = 7$

$x = 2$

$y = 7$

$x = 2$

$y = 7$

$x = 2$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 4)$

$(2, 7)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(1, 4), (2, 7)$

Gleichungsform:

$x = 1, y = 4$

$x = 2, y = 7$

Schritt 7