Algebra Beispiele

$(x + y) (x - y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 1

Multipliziere $(x + y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - y) + y (x - y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- y) + y (x - y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x (- y)$ und $y x$ neu an.

$x \cdot x - x y + x y + y (- y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 2.2

Addiere $- x y$ und $x y$ .

$x \cdot x + 0 + y (- y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x + y (- y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + y (- y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - y \cdot y + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 3.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $y$ .

$x^{2} - (y \cdot y) + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - y^{2} + 3 (x y - y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - y^{2} + 3 (x y) + 3 (- y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 5

Entferne die Klammern.

$x^{2} - y^{2} + 3 x y + 3 (- y^{2}) + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} - y^{2} + 3 x y - 3 y^{2} + 2 (x^{2} - y x)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - y^{2} + 3 x y - 3 y^{2} + 2 x^{2} + 2 (- y x)$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - y^{2} + 3 x y - 3 y^{2} + 2 x^{2} - 2 (y x)$

Schritt 9

Entferne die Klammern.

$x^{2} - y^{2} + 3 x y - 3 y^{2} + 2 x^{2} - 2 y x$

Schritt 10

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - y^{2} + 3 x y - 3 y^{2} - 2 y x$

Schritt 11

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $- y^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 y^{2} + 3 x y - 2 y x$

Schritt 12

Subtrahiere $2 y x$ von $3 x y$ .

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Schritt 12.1

Bewege $y$ .

$3 x^{2} - 4 y^{2} + 3 x y - 2 x y$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2 x y$ von $3 x y$ .

$3 x^{2} - 4 y^{2} + 1 x y$

Schritt 13

Schreibe $3 x^{2} - 4 y^{2} + 1 x y$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 13.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 13.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 13.1.1.1

Stelle $- 4 y^{2}$ und $1 x y$ um.

$3 x^{2} + 1 x y - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.1.2

Faktorisiere $1$ aus $1 x y$ heraus.

$3 x^{2} + 1 (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.1.3

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$3 x^{2} + (- 3 + 4) (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 3 (x y) + 4 (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.1.5

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} - 3 x y + 4 (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.1.6

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} - 3 x y + 4 x y - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 3 x y) + 4 x y - 4 y^{2}$

Schritt 13.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (x - 1 y) + 4 y (x - y)$

Schritt 13.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1 y$ .

$(x - 1 y) (3 x + 4 y)$

Schritt 13.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$(x - y) (3 x + 4 y)$