Algebra Beispiele

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) = 1$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.1

Vereinfache $- 3 \log_{3} (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x) - \log_{3} (2^{3}) = 1$

Schritt 2.1.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\log_{3} (x) - \log_{3} (8) = 1$

Schritt 2.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x}{8}$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{8} = 3^{1}$ um.

$\frac{x}{8} = 3$

Schritt 2.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 8 \cdot 3^{1}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Vereinfache $8 \cdot 3^{1}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Berechne den Exponenten.

$x = 8 \cdot 3$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$x = 24$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{3} (\frac{x}{8}) - 1$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{3} (\frac{x}{8})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x}{8} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere beide Seiten mit $8$ .

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x > 0 \cdot 8$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$x > 0$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 24$

$x > 24$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} (- 2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 24$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 24$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} (2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $- 1.2618595$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 24$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 24$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 26$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $26$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} (26) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $1.07285801$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 24$ Wahr

$x > 24$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 24$ Wahr

$x > 24$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x \leq 24$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x \leq 24$

Intervallschreibweise:

$(0, 24]$

Schritt 8