Algebra Beispiele

${(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Schritt 1.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$ um.

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$1.45710678 \dots$