Algebra Beispiele

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (4^{3 x + 2})$ durch Herausziehen von $3 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ als $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ um.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (8^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $(3 x + 2) \ln (4)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache $3 \ln (4)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Schritt 5.1.1.3

Vereinfache $2 \ln (4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.4.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Schritt 5.1.1.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 \ln (8)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

Schritt 5.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ .

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $x \ln (64)$ von $x \ln (64)$ .

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $0$ und $\ln (16)$ .

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Schritt 5.5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

Schritt 5.6

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

Schritt 5.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ um.

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

Schritt 5.8.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{16}{x - 5} = 1$

Schritt 5.8.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.8.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 5, 1$

Schritt 5.8.3.2

Entferne die Klammern.

$x - 5, 1$

Schritt 5.8.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 5$

Schritt 5.8.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{x - 5} = 1$ mit $x - 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.8.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{x - 5} = 1$ mit $x - 5$ .

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Schritt 5.8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 5.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Schritt 5.8.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 = 1 (x - 5)$

Schritt 5.8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.4.3.1

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$16 = x - 5$

Schritt 5.8.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.8.5.1

Schreibe die Gleichung als $x - 5 = 16$ um.

$x - 5 = 16$

Schritt 5.8.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.8.5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16 + 5$

Schritt 5.8.5.2.2

Addiere $16$ und $5$ .

$x = 21$