Algebra Beispiele

$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} + \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{3}$ um.

$x^{3} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} - x \frac{1}{x} + {(\frac{1}{x})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x} + {(\frac{1}{x})}^{2})$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x} + {(\frac{1}{x})}^{2})$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + {(\frac{1}{x})}^{2})$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1^{2}}{x^{2}})$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$(x + \frac{1}{x}) (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 1)$