Algebra Beispiele

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Schritt 1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1^{2}} - (x + 1)$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - (x + 1)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - (x + 1)$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} - (x + 1)$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} - x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} - x - 1$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $- x$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x}{1} - 1$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{- x}{1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{- x}{1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} - 1$

Schritt 2.4

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} + \frac{- (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + x + 1 - x (x + 1) - (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot 1 - (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1}{x + 1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - x - 1}{x + 1}$

Schritt 5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - x - 1$ .

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x + 1 + 0 - x - x - 1}{x + 1}$

Schritt 5.1.2

Addiere $x + 1$ und $0$ .

$\frac{x + 1 - x - x - 1}{x + 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 1 - x - 1}{x + 1}$

Schritt 5.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - x - 1}{x + 1}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{- x + 0}{x + 1}$

Schritt 5.1.6

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{- x}{x + 1}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{x + 1}$